Like

Like значит похожий, подобный. Мы используем его, чтобы сказать что кто-то или что-то выглядит также, похоже на кого-то или что-то. В этом случае мы сравниваем между собой разные предметы, у которых есть общие качества или черты.
Так как like это предлог, то после него должно стоять существительное, местоимение или герундий.

Например :

• Mary is so stubborn, she behaves like a small a girl. – Мэри такая упрямая, она ведёт себя как маленькая девочка.
• I am like him. – Я такой же как и он.
• To be here is like coming home. – Быть здесь - как будто оказаться дома.

Также перед предлогом like можно часто увидеть такие глаголы восприятия как to look (выглядеть), to smell ( пахнуть), to seem (казаться), to sound (звучать), to feel (ощущаться), to taste (быть на вкус).

• With mustaches my father looks like Freddie Mercury. – C усами мой папа выглядит как Фредди Меркьюри.

Звучит как хорошая идея! (=похоже на хорошую идею)

В отличии от предлога as, перед like могут стоять наречия меры: very much, quite, rather, a lot, a bit.

• She dresses very much like my mother. - Она одевается почти как моя мама (= очень похоже на стиль моей мамы).

Слово like можно встретить во многих поговорках, устойчивых выражениях:

• Like a bull in a China shop – Как слон в посудной лавке.
• Like a cat on a hot tin roof – Как на иголках, быть не в своей тарелке
• Like a lamb to the slaughter – Покорно, как овца на заклание.

As

As используется в сравнении не внешних признаков, а функции предметов, когда речь идёт об одном предмете или человеке, которые выступают в качестве другого.

• After university I had a job as a waiter for 1 year. – После окончания университета я проработал официантом один год.
• I used a T-shirt as a washcloth. – Я использовал футболку как тряпку для мыться посуды. (= в качестве)

Также для сравнения признаков или качеств предмета может использоваться оборот as...as.

• Your hair is as long as mine. – Твои волосы такие же длинные, как и мои.

Предлог as встречается в таких выражениях как as usual, as always, as a blind.

• Today, as usual, I woke up at 8 a.m. – Сегодня как и всегда я проснулся в 8 утра.
• They lost the game. As always. – Они проиграли. Как обычно.
• There was a note from him on the table as a blind. – На столе была записка от него для отвода глаз.

И напоследок, чтобы все стало понятно. Возьмем одно предложение:

• He works hard like his father! – Он работает так же усердно, как его отец!

А если мы поменяем like на as, то получим такую фразочку:

• He works hard as his father! – Он работает усердно в качество своего отца!
  Эта фраза не имеет смысла, ведь он не может быть сам для себя отцом.

Вот и вся разница :)